半空间中 Monge-Ampère 方程解在无穷远处的渐近行为

我们证明，在 $\mathbb{R}^n_+$ 的有界域外满足 $\det D^2u=1$ 的任意凸粘性解，若在 $\{x_n=0\}$ 上为二次多项式，且当 $|x|\rightarrow \infty$ 时对某个 $0<\mu\leq \frac{1}{2}$ 满足 $\mu|x|^2\leq u\leq \mu^{-1}|x|^2$，则该解在无穷远处以至少 $\frac{x_n}{|x|^{n}}$ 的速率趋于一个二次多项式。