外部域上的拉格朗日均曲率方程

我们引入一种扩展的外部 $(K,K^{\prime},\alpha_0)$--准共形映射方法来研究解在 $\mathbb{R}^n$ 外部域上的渐近行为，其满足超临界相拉格朗日均曲率方程\n\n$$\sum_{i=1}^{n} \arctan \lambda_i(D^2u) = \theta + f(x)$$\n\n其中常数 $|\theta|\in((n-2)\pi/2,n\pi/2)$，$n\geq 2$，且 $f=O(|x|^{-\beta})$ 为无穷远处衰减为零的扰动项，满足尖锐衰减条件 $\beta>2$。我们的工作推广了 Li--Li--Yuan [Adv. Math. (2020)] 所建立的经典外部 Bernstein 类型定理（适用于特殊拉格朗日方程 $f\equiv0$）。通过 Perron 方法，我们求解对应的 Dirichlet 问题，在有限个均匀凸域的外部，给定无穷远处的渐近行为。对于 $n \geq 3$，我们在超临界相情况 $f \not\equiv 0$ 以及亚临界相情况 $f \equiv 0$ 下，分别建立粘性解的存在性和唯一性。这扩展了 Li [Trans. Amer. Math. Soc. (2019)] 中关于特殊拉格朗日方程 ($f \equiv 0$) 的外部 Dirichlet 问题的工作，其在内部边界和边界数据上采用了较弱的正则性假设。