整数集上的热核展开与 Toda 格点 hierarchy

我们考虑热方程 $u_t=Lu$，其中 $L$ 是离散变量 $n$ 中的二阶差分算子。其基本解可按照虚宗量贝塞尔函数展开。该展开中的系数 $\alpha_k(n,m)$ 是（连续）Schrodinger 算子的 Hadamard 系数的类比。我们推导了用 Toda 格点 hierarchy 的波函数与伴随波函数表示 $\alpha_k$ 的显式公式。作为该结果的首个应用，我们证明了这些系数在对角线 $n=m$ 与 $n=m+1$ 上的值定义了一族微分-差分方程，其等价于 Toda 格点 hierarchy。利用这一事实以及差分算子交换环与代数曲线之间的对应关系，我们证明基本解可以求和，给出仅包含两个具有时间变量 $t$ 的多项式系数的贝塞尔函数的有限公式，当且仅当算子 $L$ 属于 [18] 中构造的双谱（bispectral）算子族。