高阶热方程与Gelfand-Dickey族

本文分析了方程 $\partial_tv =\pm\mathcal{L} v$ 的热核，其中 $\mathcal{L}=\partial_x^N+u_{N-2}(x)\partial_x^{N-2}+\cdots+u_0(x)$ 是一个 $N$ 阶微分算子，且右侧的 $\pm$ 号选择适当。利用形式伪微分算子，我们根据 $\mathcal{L}$ 的预解式导出了热核展开中Hadamard系数的显式公式。结合该公式与孤子技术和Sato的Grassmann流形，我们建立了Hadamard系数的不同性质，并将其与Gelfand-Dickey族联系起来。特别地，利用Burchnall-Chaundy和Krichever关于微分算子交换环与代数曲线之间的对应关系，我们证明：热核由有限项组成，当且仅当算子 $\mathcal{L}$ 属于一个秩为一的微分算子交换环，其谱曲线是有理曲线且只有一个尖点型奇点，并且系数 $u_j(x)$ 在 $x=\infty$ 处为零。我们还将这些算子 $\mathcal{L}$ 刻画为Gelfand-Dickey族的系数 $u_j$ 在 $x=\infty$ 处为零的有理解，或刻画为在 $\infty$ 处为零的双谱问题的秩为一解。