正齐次算子、热核估计与 Legendre-Fenchel 变换

我们考虑有限维向量空间上的一类齐次偏微分算子，并研究其相伴的热核。这类一般算子的热核被看作平方格上复值函数卷积幂的极限对象自然出现，正如经典热核在（局部）中心极限定理中出现那样。这些所谓的正齐次算子在定义无坐标的意义上推广了半椭圆算子类。更一般地，我们引入一类变系数算子，其中每个算子都与一个正齐次算子一致可比，并研究相应的热方程柯西问题。在假设此类算子具有 H\"{o}lder 连续系数的条件下，我们通过 E. E. Levi 的方法构造其热方程的基本解，该方法由 A. Friedman 和 S. D. Eidelman 改造用于抛物组。尽管我们在该方向上的结果可由 S. D. Eidelman 对于 $2\vec{b}$-抛物组的长已知结果推出，我们的重点在于凸显 Legendre-Fenchel 变换在热核估计中的作用。具体而言，我们证明基本解满足一个离对角估计，即一个热核估计，该估计用算子的主符号的 Legendre-Fenchel 变换表示——该估计在许多情形中被发现是尖锐的。