具有无界漂移的超临界 SDE 的热核

设 $\alpha\in(0,2)$ 且 $d\in{\mathbb N}$。考虑 ${\mathbb R}^d$ 中如下 SDE：$${\rm d}X_t=b(t,X_t){\rm d} t+a(t,X_{t-}){\rm d} L^{(\alpha)}_t,\ \ X_0=x,$$其中 $L^{(\alpha)}$ 为 $d$ 维旋转不变 $\alpha$-稳定过程，$b:{\mathbb R}_+\times{\mathbb R}^d\to{\mathbb R}^d$ 与 $a:{\mathbb R}_+\times{\mathbb R}^d\to{\mathbb R}^d\otimes{\mathbb R}^d$ 为空间中的 H{\"o}lder 连续函数，各自阶数为 $\beta,\gamma\in (0,1)$ 且满足 $(\beta\wedge \gamma)+\alpha>1$，对 $t$ 一致。此处 $b$ 可无界。当 $a$ 有界且一致椭圆时，我们证明上述 SDE 的唯一解 $X_t(x)$ 具有连续密度，并享有精细的双边估计。我们还建立了对数导数的精细上界。特别地，我们覆盖了整个超临界范围 $\alpha\in (0,1)$。我们的证明基于特定的拟微分展开与概率技术。