由 α-稳定过程驱动的超临界 SDE 的遍历性与重尾采样

令 $\alpha\in(0,2)$ 且 $d\in\mathbb{N}$。考虑如下由 $\mathbb{R}^d$ 中 $\alpha$-稳定过程驱动的随机微分方程（SDE）：$$dX_t=b(X_t)dt+\sigma(X_{t-})d L^{\alpha}_t, \quad X_0=x\in\mathbb{R}^d,$$ 其中 $b:\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}^d$ 和 $\sigma:\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}^d\otimes\mathbb{R}^d$ 是局部 $\gamma$-Hölder 连续的，$\gamma\in(0\vee(1-\alpha)^+,1]$，$L^\alpha_t$ 是一个 $d$ 维旋转不变的 $\alpha$-稳定过程。在对 $b,\sigma$ 的某些耗散性和非退化性假设下，我们证明了与 $(X_t(x),t\geq 0)$ 相关联的半群 $P_t$ 的 $V$-一致指数遍历性。我们的证明主要基于 \cite{MZ20} 中最近建立的热核估计，通过证明强 Feller 性质和 $P_t$ 的不可约性。有趣的是，当 $\alpha$ 趋于零时，扩散系数 $\sigma$ 可以比漂移项 $b$ 增长得更快。作为应用，我们提出了一种新的重尾采样方案。