空间维数 $k\geq 1$ 的非线性随机热方程组击中概率

我们考虑空间维数 $k \geq 1$ 下的 $d$ 个非线性随机热方程组，其解是一个 $\R^d$ 值随机场 $u= \{u(t\,,x),\, (t,x) \in \R_+ \times \R^k\}$。$d$ 维驱动噪声在时间上是白噪声，且具有由指数为 $\beta$ 的 Riesz 核定义的空间齐次协方差，其中 $0<\beta<(2 \wedge k)$。非线性项既作为加性漂移项出现，也作为噪声的乘子出现。利用 Malliavin 演算技术，我们建立了 $\R^{2d}$ 值随机向量 $(u(s,y),u(t,x))$ 关于 Lebesgue 测度的两点密度上界，该结果特别量化了当 $(s,y) \to (t,x)$ 时该密度的退化程度。由此结果，我们推导出了过程 $u$ 击中概率的下界（用 Newton 容量表示）。我们还建立了用 Hausdorff 测度表示的过程击中概率上界。这些估计使得证明当 $d > \frac{4+2k}{2-\beta}$ 时点是极性的，而当 $d < \frac{4+2k}{2-\beta}$ 时点不是极性的成为可能。在第一种情况下，我们还证明了过程值域的 Hausdorff 维数几乎必然为 $\frac{4+2k}{2-\beta}$。