$(\alpha,\beta)$-超过程的密度与一类分数阶非线性偏微分方程的奇异解

我们考虑 $R^d$ 上临界 $(\alpha,\beta)$-超过程的密度 $X_t(x)$，其中 $\alpha\in (0,2)$ 且 $\beta<\frac \alpha d$。PDE 近期的一个结果给出了该密度的一个二分性：对固定的 $x$，在 $\{X_t\neq 0\}$ 上 $X_t(x)>0$ a.s. 当且仅当 $\beta \leq \beta^*(\alpha) = \frac{\alpha}{d+\alpha}$。我们加强了这一结论，并证明在连续密度情形下，$\beta < \beta^*(\alpha)$ 意味着密度函数在 $\{X_t\neq 0\}$ 上 a.s. 严格为正。随后我们给出了关于测度 $\mu$ 的近乎尖锐的条件，使得在 $\{X_t\neq 0 \}$ 上 $\mu(X_t):=\int X_t(x)\mu(dx)>0$ a.s.。我们的刻画基于 $supp(\mu)$ 的大小，以 Hausdorff 测度和维数的意义而言。对 $s \in [0,d]$，若 $\beta \leq \beta^*(\alpha,s)=\frac{\alpha}{d-s+\alpha}$ 且 $supp(\mu)$ 具有正的 $x^s$-Hausdorff 测度，则在 $\{X_t\neq 0\}$ 上 $\mu(X_t)>0$ a.s.；而当 $\beta > \beta^*(\alpha,s)$ 时，若 $\mu$ 满足一致下密度条件（蕴含 $dim(supp(\mu)) < s$），则 $P(\mu(X_t)=0|X_t\neq 0)>0$。我们还给出了分数阶 PDE $\partial_t u(t,x) = -(-\Delta)^{\alpha/2}u(t,x)-u(t,x)^{1+\beta}$（定义域 $(t,x)\in (0,\infty)\times R^d$）的新结果。解 $u_t(x)$ 的初始迹是一对 $(S,\nu)$，其中奇异集 $S$ 是一个闭集，围绕它的 $u_t(x)$ 局部积分在 $t \to 0$ 时发散，$\nu$ 是一个 Radon 测度，给出 $t\to 0$ 时 $u_t(x)$ 在 $S^c$ 上的极限行为。我们用称为饱和维数 $d_{sat}=d+\alpha(1-\beta^{-1})$ 的参数刻画了具有初始迹 $(S,0)$ 的解的存在性。对 $S\neq R^d$ 且 $dim(S)> d_{sat}$（某些情况下 $dim(S)=d_{sat}$），我们证明不存在此类解。当 $dim(S)<d_{sat}$ 且 $S$ 是满足一致下密度条件的测度的紧支撑时，我们证明解存在。