论整数的小集合

$\bf H$（整数或非负整数）上的上拟密度是定义在 $\mathbf H$ 的整个幂集上的实值次可加函数 $\mu^\ast$，满足 $\mu^\ast(X) \le \mu^\ast({\bf H}) = 1$ 且对所有 $X \subseteq \bf H$、$k \in {\bf N}^+$、$h \in \bf N$ 有 $\mu^\ast(k \cdot X + h) = \frac{1}{k}\, \mu^\ast(X)$，其中 $k \cdot X := \{kx: x \in X\}$；而 $\bf H$ 上的上密度是指关于包含关系单调不减的 $\bf H$ 上拟密度。称集合 $X \subseteq \bf H$ 为小的，若对 $\bf H$ 上每个上拟密度 $\mu^\ast$ 均有 $\mu^\ast(X) = 0$。上密度的主要例子由上解析、上 Banach、上 Buck 和上 P\'olya 密度，以及不可数族的上 $\alpha$-密度给出，其中 $\alpha$ 为 $\ge -1$ 的实数参数（最显著地，$\alpha = -1$ 对应上对数密度，$\alpha = 0$ 对应上渐近密度）。结果表明，$\bf H$ 的子集是小的当且仅当它属于 $\bf Z$ 上 Buck 上密度的零集。这使我们能证明许多有趣集合是小的，包括具有少于固定个数素因子（计重数）的整数；由判别式非完全平方的整数系数二元二次型表示的数；以及 $\bf Z$ 经单变量非线性整系数多项式的像。