正 co-degree 密度与跳跃

非空 $r$ 图 $H$ 的最小正 co-degree 记为 $\delta_{r-1}^+(H)$，是指对于每一个 $(r-1)$ 集 $S \subset V(H)$，若 $S$ 包含在 $H$ 的某个超边中，则 $S$ 至少包含在至少 $k$ 个超边中的最大整数 $k$。给定 $r$ 图族 $\mathcal{F}$，正 co-degree Turán 函数 $\mathrm{co^+ex}(n,\mathcal{F})$ 是指在所有 $n$ 顶点 $r$ 图 $H$ 中不包含 $\mathcal{F}$ 任意成员的最大 $\delta_{r-1}^+(H)$。正 co-degree 密度记为 $\gamma^+(\mathcal{F}) = \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\mathrm{co^+ex}(n,\mathcal{F})}{n}$。尽管 $\gamma^+(\mathcal{F})$ 的存在已对所有族 $\mathcal{F}$ 证明，但仅已知少数正 co-degree 密度。对于固定的 $r \geq 2$，我们称 $\alpha \in [0,1]$ 为可实现值（achievable value），若存在 $r$ 图族 $\mathcal{F}$ 使得 $\gamma^+(\mathcal{F}) = \alpha$；若存在 $\delta > 0$，使得不存在 $\mathcal{F}$ 使得 $\gamma^+(\mathcal{F}) \in (\alpha, \alpha + \delta)$，则称 $\alpha$ 为跳跃（jump）。Halfpap、Lemons 与 Palmer 证明 $[0, \frac{1}{r})$ 中的每个 $\alpha$ 都是跳跃。我们扩展了该结果，证明 $[0, \frac{2}{2r -1})$ 中的每个 $\alpha$ 都是跳跃。我们还指出对于 $r = 3$，可实现值集合是无限的，具体而言，$\frac{k-2}{2k-3}$ 对每个 $k \geq 4$ 均可实现。最后，我们使用 flag 代数计算确定 $r=3$ 的两个额外可实现值。