作为 Wigner 量子系统的谐振子链：gl(1|n) 解中的周期与固定壁边界条件

我们描述了一个由一维线性链组成的量子系统，该链包含 $n$ 个通过最近邻相互作用耦合的全同谐振子。考虑了两种边界条件：周期边界条件（其中第 $n$ 个振荡器耦合回第一个振荡器）和固定壁边界条件（其中第一个和第 $n$ 个振荡器耦合到固定壁）。这两个系统由其哈密顿量表征。对于其量子化，我们将这些系统视为 Wigner 量子系统 (WQS)，从而允许除正则量子化解之外的更多解。在这种 WQS 方法中，导出了算符（位置和动量算符的线性组合）必须满足的某些代数关系，这些关系涉及对易子和反对易子的三重关系。这些三重关系具有用李超代数 gl(1|n) 表示的解。我们研究了一类特定的 gl(1|n) 表示 $V(p)$，即所谓的阶梯表示 (ladder representations)。对于这些表示，我们确定了哈密顿量和位置算符的谱（针对两种边界条件）。此外，我们用稳态计算了位置算符的本征矢。这导出了链中 $n$ 个振荡器位置概率的显式表达式。对这种位置概率分布图的分析产生了一些有趣的观察结果。特别是，作为 WQS 的系统的物理行为与经典情况下的预期非常一致，只不过所有物理量（每个振荡器的能量、位置和动量）都具有有限谱。