弹簧耦合的谐振子：作为 Wigner 量子系统的离散解

我们考虑一个量子系统，它由一维链上的 M 个具有固有频率 $\omega$ 的全同谐振子组成，这些谐振子通过弹簧耦合。此类系统此前已被研究过，并出现在各种模型中。在本文中，我们将该系统视为一个 Wigner 量子系统，不强加正则对易关系，而是使用由哈密顿方程和海森堡方程的相容性推导出的较弱关系。在这样的设定下，量子系统允许在有限维希尔伯特空间中存在解，所有物理算子都具有离散谱。我们证明，可以使用李超代数 gl(1|M) 的生成元获得一类解。然后，我们研究了 gl(1|M) 的一类酉表示中物理算子的性质和谱。这些性质既有趣又引人入胜。特别是，我们可以对哈密顿量以及位置和动量算子的本征值（包括重数）进行完整分析。我们还研究了当量子系统处于定态时位置算子的概率分布，以及一个谐振子的位置对链中其余谐振子位置的影响。