关联量子振荡器的广义波函数 II:态空间的几何

在本系列四篇文章的第二篇中,我们构建了一个足以表示非平凡哈密顿量子动力学(包括共振)的数学形式体系。该构建的某些部分在数学上也是必要的。具体构建是通过解析延拓将一对量子化的自由振荡器转化为一个耦合振荡器的共振系统,该延拓由复辛变换群代数地实现,从而产生了多个动力学的半群表示。量子自由振荡器是耦合振荡器和量子共振(包括Breit-Wigner共振)的经典作用-角变量解的量子类比。在由Gamow向量表示的指数衰减的Breit-Wigner共振中,存在能量从一个振荡器转移到另一个振荡器的哈密顿系统。为了在定义良好的动力学形式体系中容纳复谱,存在重要的数学约束,这些约束可以通过使用交换实代数C(1,i)作为标量环来代替复数域来满足。这些数学约束迫使使用基本(旋量)表示而非UIR。通过将薛定谔方程的分布解纳入rigged Hilbert空间,并利用哈密顿量作为态空间上正则变换的生成元,薛定谔方程成为广义能量本征向量的平行输运方程,明确确立了哈密顿量作为该形式体系中动力学时间平移生成元的地位。