一类非多项式振子的经典与量子动力学研究

我们考虑两个一维非线性振子,即(i) Higgs 振子和(ii) 一个 $k$ 依赖的非多项式有理势,其中 $k$ 为黎曼流形的常曲率。两个系统均具有位置依赖质量形式 ${\displaystyle m(x) = \frac{1}{(1 + k x^2)^2}}$,属于二次 Li$\acute{e}$nard 型非线性振子。它们在经典层面表现出不同类型的运动。在求解这些系统的量子版本时,我们考虑一个广义位置依赖质量哈密顿量,其中质量项的排序参数被视为任意的。我们观察到,在排序参数的适当限制下,Higgs 振子的量子版本是可精确求解的;而第二个非线性系统利用 Bethe ansatz 方法被证明是准精确可解的,其中排序参数的任意性对获得准多项式解也起着重要作用。我们将研究推广到这些非线性振子的三维推广,并得到了三维 Higgs 振子经典与量子版本的精确解。发现 $k$ 依赖非多项式势的量子对应物的三维推广是准精确可解的。