与等距振子相关的量子精确可解非线性振子

本文研究一种非多项式一维量子势所描述的振子，该振子可视为介于谐振子与等距振子（具有向心势垒的谐振子）之间的情形。首先考虑依赖于参数 $a$ 的一般情形，随后详细研究一种特例。证明表明该体系是薛定谔方程可解的，并显式导出了束缚态的波函数 $\Psi_n$ 与能量 $E_n$。最后证明，这些解确定了一族与厄米多项式相关的正交多项式 ${\cal P}_n(x)$，且满足：(i) 每个 ${\cal P}_n$ 均为三个厄米多项式的线性组合；(ii) 它们关于通过修正经典厄米测度得到的新测度正交。