离散化谐振子：Mathieu 函数与一类新的广义 Hermite 多项式

我们给出离散化谐振子的一般渐近解。相应的薛定谔方程与 Mathieu 微分方程（量子摆的薛定谔方程）正则共轭。因此，除了给出孤立 Josephon 结或超导单电子晶体管（SSET）哈密顿量的显式解外，我们还获得了 Mathieu 函数的渐近表示。我们通过将无限维矩阵特征值问题转化为一组无限代数方程来求解离散化谐振子，随后证明所得解满足这些方程。所提出的 ansatz 定义了一类新的广义 Hermite 多项式，它们是耦合参数的显式函数，并在耦合常数趋于零的极限下退化为普通 Hermite 多项式。这些多项式作为厄米矩阵本征矢的一部分而正交，因此解的指数的部分不可排除。我们猜想了解的一般结构，涉及量子数与展开阶数两方面。我们给出了渐近解前三个主导阶的显式证明，并概述了本征矢关于范数渐近收敛的证明。从更实用的角度看，我们可以估计改进已知解所需的努力以及本征矢的精度。所应用的方法可推广到多变量情形。