关于非矩形阶梯-谐振型半无限量子阱的精确可解模型

本文构造了一个具有位置依赖有效质量的非相对论谐振子的精确可解模型。该模型表现为非矩形轮廓的半无限量子阱。这种轮廓形式类似于阶梯-谐振势，这是有效质量对位置和半约束参数 $a$ 的某种解析依赖关系所致。我们研究了离散谱和连续谱两种状态。在离散谱情形下，该谐振子模型的波函数通过贝塞尔多项式表示。离散能谱是非等距且有限的，这也源于其对参数 $a$ 的依赖。在连续谱情形下，该谐振子模型的波函数通过 $_1F_1$ 超几何函数表示。在极限情形当参数 $a$ 趋于无穷时，所构造模型的波函数和能谱都正确退化为具有常有效质量的通常非相对论谐振子的相应结果。即离散谱波函数恢复为以埃尔米特多项式表示的波函数，而连续谱波函数简单消失。我们还提出了一个将贝塞尔多项式直接化为埃尔米特多项式的新极限关系，并用数学归纳法证明了其正确性。