二维圆环上带加性白噪声的 Navier-Stokes 方程的 $(H,H^2)$-光滑性效应

Hongyong Cui; Hui Liu; Jie Xin

二维圆环上带加性白噪声的 Navier-Stokes 方程的 $(H,H^2)$-光滑性效应

偏微分方程分析 2025-08-27 v1

作者: Hongyong Cui , Hui Liu , Jie Xin

摘要

本文致力于研究带加性白噪声的 Navier-Stokes (NS) 方程在二维圆环 $\mathbb T^2$ 上的正则性. 在外部力 $f(x)$ 属于相位空间 $H$ 且噪声强度函数 $h(x)$ 满足 $\|\nabla h\|_{L^\infty} \leq \sqrt \pi \nu \lambda_1$ 的条件下,其中 $\nu$ 为流体的动力粘度, $\lambda_1$ 为粘性算子的第一个特征值,我们证明了随机 NS 方程拥有一拥有温和性的 $(H,H^2)$ -随机吸引子,其 (box-counting) 分形维数在 $H^2$ 中为有限. 该结果通过首先建立 $H^2$ 有界吸收集,并进一步证明系统的 $(H,H^2)$ -光滑性效应,从而将吸引子在 $H$ 空间中的紧凑性和有限维性提升至 $H^2$ 空间. 由于力 $f$ 仅属于 $H$ ,解的 $H^2$ 正则性以及 $H^2$ 有界吸收集均通过估计随机 NS 方程解与其对应确定性方程解之间 $H^2$ 距离的间接方法来构造.

引用

@article{arxiv.2508.18745,
  title  = {$(H,H^2)$-smoothing effect of Navier-Stokes equations with additive white noise on two-dimensional torus},
  author = {Hongyong Cui and Hui Liu and Jie Xin},
  journal= {arXiv preprint arXiv:2508.18745},
  year   = {2025}
}

二维圆环上带加性白噪声的 Navier-Stokes 方程的 $(H,H^2)$-光滑性效应

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