低维空间中$N$个散焦弱耦合 NLS 方程组的$H^1$-散射

我们证明了对于散焦 Schr\"odinger 方程组 $$\begin{cases} i\partial_t u_\mu + \Delta u_\mu - \sum_{\mu,\nu=1 }^N \beta_{\mu\nu}|u_\nu|^{p+1}|u_\mu|^{p-1}u_\mu=0, \quad\quad \mu=1,\dots,N,\\(u_\mu(0,\cdot))_{\mu=1}^N= (u_{\mu,0})_{\mu=1}^N \in H^1(\mathbb R^d)^N. \end{cases}$$ 其中$N\geq 2$，$\beta_{\mu\nu} \geq 0$，当$d=1$时$p>2$，当$d=2$时$p>1$，当$d=3$时$1 \leq p < 2$，且$\beta_{\mu\mu}\neq 0$，其散射算子和波算子在能量空间中是良定义的。