基于网格的图、线性实现与Buratti-Horak-Rosa猜想

用整数 $\{0, 1, \ldots, v-1\}$ 标记完全图 $K_v$ 的顶点，并定义标记为 $x$ 和 $y$ 的不同顶点之间边的 {\em 长度} $\ell$ 为 $\ell(x,y) = \min( |y-x|, v - |y-x| )$。一个大小为 $v-1$ 的多重集 $L$ 的一个 {\em 实现} 是 $K_v$ 中的一条哈密顿路径，其边标号构成 $L$。{\em Buratti-Horak-Rosa (BHR) 猜想} 指出，一个多重集 $L$ 存在一个实现当且仅当对于 $v$ 的任何因子 $d$，$L$ 中 $d$ 的倍数的个数至多为 $v-d$。我们引入“基于网格的图”作为构造特定类型实现（称为“线性实现”）的有用工具，特别是当所讨论的多重集具有大小为3的支撑集时。这使我们能够证明BHR猜想的许多新实例，包括当 $a \geq x+y - \epsilon$ 时形式为 $\{1^a, x^b, y^c \}$ 的多重集（其中 $\epsilon$ 是 $\{ x,y \}$ 中偶数元素的个数），以及对于足够大的 $v$ 且对所有 $y \in L$ 满足 $\gcd(v,y) = 1$ 的以下所有形式的多重集：$\{1^a, 2^b, x^c\}$（可能除了 $a \in \{1,2\}$ 且 $x$ 为奇数的情况），$\{1^a, x^b, (x+1)^c\}$。这证明了存在无限多个大小为3的集合 $U$，对于这些集合，存在无限多个 $v$ 值使得BHR猜想对每个支撑为 $U$ 的多重集成立。我们还证明了当 $x \in \{7,9,10\}$ 且 $\gcd(v,x) = \gcd(v,x+1) = 1$ 时，BHR猜想对 $\{1^a,x^b,(x+1)^c\}$ 成立。