小支撑多重集的线性实现构造技术

完全图$K_v$中的一条哈密顿路径，其顶点标记为整数$0,1,\ldots,v-1$，是该路径各边的线性边长（由顶点$x$和$y$之间边的$|x-y|$给出）所构成多重集$L$的一个线性实现。如果一个端点是0，则该线性实现是标准的；如果端点是0和$v-1$，则是完美的。线性实现在研究关于给定多重集是否存在循环实现（其中循环边长由模$v$的距离给出）的Buratti-Horak-Rosa (BHR)猜想中很有用。在本文中，我们关注形式为$\{1^a, (y-k)^b, y^c\}$的多重集。利用支撑大小为2的核心完美线性实现（每当$\gcd(x,y)=1$时，其形式为$\{x^{y-1},y^{x+1}\}$），我们在$k\mid y$或$k \leq 4$时构造了标准线性实现（其中$a=k-1$, $b=j(y-k)$, $c=jy$）。当$k=2$时，这些结果使我们能够证明，只要$a \geq y$，就存在一个线性实现。这与$k=1$情况的已知结果一致。我们还通过构造当$b+c < y$且$a \geq y - \min(b,c)$时的线性实现，补充了$k=1$的这些结果，由此，当$y \leq 16$时，$k=1$情况的BHR猜想的互质版本（要求$v$与多重集的每个元素互质）成立。我们的方法显示出为任意$k$构造线性实现的前景，朝着解决支撑大小为3的BHR猜想的方向迈进。