可增长实现:处理 Buratti-Horak-Rosa 猜想的有力方法

用整数 $\{ 0, 1, \ldots, v-1 \}$ 标记完全图 $K_v$ 的顶点,并定义 $x$ 与 $y$ 之间边的长度为 $\min( |x-y| , v - |x-y| )$。设 $L$ 为大小 $v-1$ 的多重集,其底集包含于 $\{ 1, \ldots, \lfloor v/2 \rfloor \}$。Buratti-Horak-Rosa 猜想为:当且仅当对 $v$ 的任意因子 $d$,$L$ 中出现的 $d$ 的倍数个数至多为 $v-d$ 时,$K_v$ 中存在一条边长度恰为 $L$ 的哈密顿路径。我们引入“可增长实现”,使我们能证明该猜想的许多新实例并以更简单的方式重证已知结果。作为新方法示例,我们在底集包含于 $\{ 1,4,5 \}$ 或 $\{ 1,2,3,4 \}$ 时给出完全解,并在底集形如 $\{ 1, x, 2x \}$ 时给出部分结果。我们相信对任意正整数集 $U$,存在有限的可增长实现集,可推出 Buratti-Horak-Rosa 猜想对除有限个以 $U$ 为底集的多重集外皆成立。