互素 Buratti-Horak-Rosa 猜想与基于网格的线性实现

我们提出了“互素 Buratti-Horak-Rosa (BHR) 猜想”：如果 L 是一个大小为 v-1 的多重集，其支撑包含于 {1, 2, ..., ⌊v/2⌋}，并且对于所有 x ∈ L 都有 gcd(v, x) = 1，则 L 是可实现的。这是著名的 BHR 猜想的一个特化，并包含了 Buratti 的原始猜想。我们认为，当支撑大小为 3 时，解决该猜想的最有效途径是关注 L = {1^a, x^b, y^c} 且 1 < x < y 的情况，其中 a 受限于 a < x + y。我们使用基于网格的图来构造许多此类多重集的线性实现。构造覆盖的参数部分列表包括：a = x + y - 1；当 x 为偶数或 x = 3 时，a = x + y - 2；当 x 为奇数且 y > 2x - 2 且 b ≥ y - 2x + 2 时，a ≥ 4x - 3；当 x 和 t 为奇数且 y = tx 时，a ≥ x 且 b ≥ tx + t - 3；当 x = 3 时，a ≥ 7 且 b ≥ y - 4。除了这些（以及更多）结果外，所引入的技术也显示出进一步发展的潜力，既可用于证明支撑大小为 3 时的猜想，也可用于处理支撑更大的情况。我们还证明，如果 y > (2x^2 + 2x + 1)/(x - 2)，则对于 {1^a, x^b, y^c}，互素 BHR 猜想对无穷多个 v 值成立，并且当 (x, y) = (6, 18) 时，最多有 3 个 v 值不满足该猜想。