超图的 Lagrangian：Frankl–Füredi 猜想几乎处处成立

Frankl 和 Füredi 于 1989 年猜想：所有固定规模 m 的 r-一致超图的最大 Lagrangian 由共字典序的初始段实现。特别地，在主要情形 m=binom{t}{r} 下，他们的猜想断言：每个规模为 binom{t}{r} 的 H⊆ℕ^{(r)} 满足 max{∑_{A∈H}∏_{i∈A} y_i : y_1,y_2,…≥0; ∑_{i∈ℕ} y_i=1} ≤ (1/t^r)binom{t}{r}。我们证明了上述结论对所有 r≥4 及大的 t 值成立（r=3 的情形已由 Talbot 于 2002 年解决）。更一般地，我们证明对任意 r≥4，只要 binom{t-1}{r} ≤ m ≤ binom{t}{r} - γ_r t^{r-2}（其中 γ_r>0 为常数），Frankl–Füredi 猜想即成立，从而对“大多数” m∈ℕ 验证了该猜想。此外，对于 r=3，我们改进了 Talbot 以及 Tang、Peng、Zhang 和 Zhao 的结果。