$3$-一致超图的团数与 Lagrangian 之间的联系

Motzkin 和 Straus 于 1965 年证明了 2-图的团数与 Lagrangian 之间存在显著联系。如果类似结果对超图也成立，将在实践中非常有用。然而，将 Motzkin 和 Straus 的结果直接推广到超图显然是错误的。Frankl 和 F"{u}redi 猜想：通过取${\mathbb N}^{(r)}$的 colex 序中前$m$个集合构成的具有$m$条边的$r$-一致超图，在所有具有$m$条边的$r$-一致超图中拥有最大的 Lagrangian。对于$r=2$，Motzkin 和 Straus 定理证实了这一猜想。对于$r=3$，Talbot 证明了当$m$在某些范围内时该猜想成立。在本文中，我们探讨了$3$-一致超图的团数与 Lagrangian 之间的联系。作为这一联系的应用，我们证实了当$r=3$时，Frankl 和 F"{u}redi 的猜想在更大的$m$范围内成立。我们还获得了针对左压缩$3$-一致超图的两个较弱版本的 Tur\'{a}n 型定理。