阿隆·弗兰克尔定理的超图推广与彩虹图塔尔问题

给定图 $F$，其 $r$ 扩张 $F^{(r)+}$ 是由从 $F$ 的每条边中插入 $r-2$ 个新异构顶点得到的 $r$ 均匀超图。近期来，阿隆与弗兰克尔（JCTB, 2024）以及 Gerbner（JGT, 2023）分别研究了具有有限匹配数的 $n$ 顶点 $F$ 自由图中边数的最大值问题。Gerbner、Tompkins 与 Zhou（EJC, 2025）考虑了具有有限匹配数的超图上的类似图塔尔问题。在本文中，我们研究阿隆·弗兰克尔定理的超图推广。更准确地说，我们确定在所有小 $s<\frac{\ell^2-1}{2}$ 以及所有足够大的 $s$ 情况下，$n$ 顶点 $r$ 均匀超图中不包含匹配 $M^r_{s+1}$ 或克隆 $K_{\ell+1}$ 的扩张 $K_{\ell+1}^{(r)+}$ 的超边数最大值。这项结果部分确认了 Gerbner、Tompkins 与 Zhou（EJC, 2025）提出的猜想。作为关键工具，我们确定扩张克隆的彩虹超图塔尔数，这被定义为包含无彩虹克隆扩张的超图序列 $\mathcal{H}_1,\dots,\mathcal{H}_k$ 中各超图大小之和的最大值。它扩展了 Keevash、Saks、Sudakov 与 Verstra{"e}te（AAM, 2004）确定克隆在图的情况下的彩虹图塔尔数的结果。这些结果显示了超图塔尔问题与彩虹超图塔尔数之间的相关性。