论超图的 Lagrangian

Frankl 和 Füredi 猜想，在 ${\mathbb N}^{(r)}$ 的 colex 序中取前 $m$ 个集合构成的具有 $m$ 条边的 $r$-一致超图，在所有具有 $m$ 条边的 $r$-一致超图中具有最大的 Lagrangian \cite{FF}。Motzkin 和 Straus 定理证实了当 $r=2$ 时的这一猜想。对于 $r=3$，Talbot 在 \cite{T} 中证明了当 $m$ 在特定范围内时该猜想成立。在本文中，我们探讨了 $r$-一致超图的团数与 Lagrangian 之间的联系。作为这一联系的一个推论，我们证明了在 ${\mathbb N}^{(r)}$ 的 colex 序中取前 $m$ 个集合构成的具有 $m$ 条边的 $r$-一致超图，在所有满足 ${t-1\choose r}\leq m \leq {t-1\choose r}+ {t-2\choose r-1}-[(2r-6)\times2^{r-1}+2^{r-3}+(r-4)(2r-7)-1]({t-2\choose r-2}-1)$ 且具有 $t$ 个顶点和 $m$ 条边的 $r$-一致图中具有最大的 Lagrangian，其中 $r\geq 4$。