关于超图 Lagrangian 的一些结果

1965 年，Motzkin 和 Straus [5] 利用图的 Lagrangian 对图的团数进行连续刻画，提供了 Turan 定理的一个新证明。这一新证明激发了人们对 $r$-一致图的 Lagrangian 研究的兴趣。超图的 Lagrangian 一直是解决超图极值问题的有力工具。Sidorenko 以及 Frankl-Furedi 应用超图的 Lagrangian 寻找超图的 Turan 密度。Frankl 和 Rodl 应用它否定了 Erdos 的跳跃常数猜想。在大多数应用中，我们需要超图 Lagrangian 的上界。Frankl 和 Furedi 猜想，通过取 $N^(r)$ 的 colex 排序中的前 $m$ 个集合而形成的具有 $m$ 条边的 $r$-一致图，在所有具有 $m$ 条边的 $r$-一致图中拥有最大的 Lagrangian。Talbot 在 [14] 中为 Frankl 和 Furedi 的猜想提供了一些证据。在本文中，我们证明了当边数为 ${t \choose r}-3$ 或 ${t \choose r}-4$ 时，通过取 $N^(r)$ 的 colex 排序中的前 $m$ 个集合而形成的具有 $m$ 条边的 $r$-一致图，在所有具有 $t$ 个顶点和 $m$ 条边的 $r$-一致图中拥有最大的 Lagrangian。作为推论，我们还证明了对于具有 ${t \choose 3}-3$ 或 ${t \choose 3}-4$ 条边的 3-一致图，Frankl 和 Furedi 的猜想成立。