Buratti--Horak--Rosa 猜想的计算验证与归纳方法

本文提出了一种全面的计算方法，用于验证和归纳构造 Buratti--Horak--Rosa (BHR) 猜想中哈密顿路径。该猜想指出，对于任意大小为 $p-1$ 的正整数多重集 $L$，其中每个整数不超过 $\lfloor p/2 \rfloor$，若且仅若对于 $p$ 的每个除数 $d$，在 $L$ 中出现的 $d$ 的倍数数量不超过 $p - d$，则在完全图 $K_p$（顶点集合为 $\{0, 1, \dots, p-1\}$）中存在一条哈密顿路径，其边长度（在循环度量下）匹配 $L$。基于 Mariusz Meszka 的先前计算工作，该 Python 程序将该验证范围显著扩展。我们通过系统生成边长度的频率分区 (frequency partitions, FPs)，并采用递归回溯算法来解决问题。我们报告了对所有频率分区的成功计算验证，具体而言，针对 $p=31$ 以及复数 $p=26$ 进行了结果展示。对于 $p=30$，Python 代码在 Lenovo 笔记本电脑上约耗时 11 小时进行验证。对于 $p=16$，处理了 $167,898$ 个有效多重集，约耗时 20 小时在 Google Colab Pro+ 上运行。此外，我们引入并实现了两种构造性、归纳的哈密顿路径构建策略：(1) 增加现有边长度的重复次数，(2) 添加新的边长度。这些方法结合了重用-插入启发式方法和回溯搜索，成功构建了 $p$ 达到 40 的演化 FPs。通过这些实验测试和性能指标，我们为 BHR 猜想在所测试范围内的有效性提供了有力的计算证据，并概述了该方法在更高整数值上的可扩展性。