度序列实现数量与主要化之间的联系

\emph{图实现问题}是指对于给定的非负整数 $a_1,\dots,a_n$，寻找一个简单图（无环或多重边），使得每个顶点 $v_i$ 的度为 $a_i$。给定非负整数对 $(a_1,b_1),\dots,(a_n,b_n)$，(i) \emph{二分图实现问题}询问是否存在一个二分图（无环或多重边），使得向量 $(a_1,...,a_n)$ 和 $(b_1,...,b_n)$ 分别对应两个部分集内的度列表；(ii) \emph{有向图实现问题}是指寻找一个有向图（无环或多重弧），使得每个顶点 $v_i$ 的入度为 $a_i$，出度为 $b_i$。经典文献提供了此类实现存在的特征描述，这些描述与主要化 (majorization) 概念密切相关。Aigner 和 Triesch (1994) 将此方法扩展为针对图的更一般结果，从而得出了一种高效的实现算法，并为 Erd\H{o}s-Gallai 定理提供了简短而简单的证明。我们将此方法扩展至二分图实现问题和有向图实现问题。我们的主要结果是主要化与所有三个问题中度列表的实现数量之间的联系。我们证明：如果度列表 $S'$ 在某种意义上主要化 $S$，那么 $S$ 比 $S'$ 拥有更多的实现。我们证明了当 $n$ 整除 $m$ 时，对于固定的 $n$ 和固定的弧数 $m$，常数列表拥有最大数量的实现。当 $n$ 不能整除 $m$ 时，所谓的图和二分图的\emph{最小凸列表}或有向图的\emph{对立最小凸列表}能最大化实现数量。