双部图度序列可实现性的复杂度

我们研究了 \emph{双部图度实现} (BDR) 问题：给定图度序列 $D$，决定其是否可实现为双部图。在固定顶点划分时，可通过 Gale-Ryser 定理在多项式时间内决定双部可实现性，但 BDR 在无预定义划分时的计算复杂度尚未得到解决。我们通过参数化分析来回答此问题。对于常数 $0 \le c_1 \le c_2 \le 1$，我们定义 $\mathrm{BDR}_{c_1,c_2}$ 为 BDR 的限制，适用于长度为 $n$ 且度数位于区间 $[c_1 n, c_2 n]$ 内的度序列。我们的主要结果表明，当 $0 \le c_1 \le c_2 \le \frac{\sqrt{c_1(c_1+4)}-c_1}{2}$ 或 $c_1 > \tfrac12$ 时，$\mathrm{BDR}_{c_1,c_2}$ 可在多项式时间内求解。该证明依赖于对极端 \emph{least balanced degree sequences} 的归约，以及对关键 Gale-Ryser 不等式的详细验证，结合有限子集和问题的形式化。我们进一步表明，假设无限制 BDR 为 NP 难题，问题 $\mathrm{BDR}_{c_1,c_2}$ 对所有 $0 < c_2 < \frac{1}{2}$ 且 $c_1 < 1 - c_2 - \sqrt{1-2c_2}$ 仍为 NP-Complete。% 这建立了可解与难参数区间之间的尖锐条件边界。我们的结果阐明了双部图度实现的算法格局，为更广泛的可能双部图度序列研究做出了贡献。