Kuramoto 型模型的图算子平均场极限

最初出现在统计物理中相互作用粒子系统的背景下，网络/图上的动力系统与微分方程已渗透到广泛的数学领域以及许多应用中。该领域的一个核心问题是在节点/顶点数趋于无穷（即大图极限）时找到动力学的合适近似。此背景下的基石是描述平均场层次上粒子密度的 Vlasov-Fokker-Planck 方程（VFPEs）。对于全连接耦合系统，对许多类粒子系统严格证明由 VFPEs 近似已是相当经典的结果。对于收敛到图极限（graphon）的稠密图，人们也知道对某些模型类（例如图上的 Kuramoto 模型）平均场近似成立。然而，中等密度与稀疏图的空间显然极其相关。在此我们证明，Kuramoto 模型在平均场极限下可由远比图极限更广泛的图极限近似。具体地，我们的贡献如下。（I）我们展示如何通过考虑图算子（graphops）将算子理论更抽象地引入 VFPEs。图算子最近被提出作为图极限理论的统一方法，这里我们展示它们可用于图上的微分方程。（II）对于图上的 Kuramoto 模型，我们严格证明存在一个在平均场意义下近似它的 VFPE 方程。（III）该平均场 VFPE 涉及一个图算子，我们证明了弱解的存在性、唯一性以及对图算子的连续依赖。（IV）在技术层面，我们的结果依赖于设计一种新的合适的图算子收敛度量，以及利用紧阿贝尔群上的傅里叶分析通过可和核近似图算子。