有向图测度上的Vlasov方程

许多科学现象被描述为相互作用粒子系统(IPS)。大规模全连接确定性 IPS 的平均场极限(MFL)由偏微分方程即 Vlasov 方程(VE)的解给出。然而，许多应用要求 IPS 在网络/图上耦合。了解与 IPS 相关联的有向图序列的极限如何影响宏观 MFL 是有趣的。本文研究广义有向图上的 VE，该有向图被视为有向图序列的极限，我们称之为有向图测度(DGM)，以强调我们通过测度处理其极限。我们提供了 VE 解的适定性及离散化，该解由支撑在 IPS 解上的经验分布给出，IPS 通过 ODE 在收敛于给定 DGM 的有向图序列上耦合。我们的结果推广了关于稠密图上耦合的一维 Kuramoto 型网络的现有结果。此处我们允许底层有向图不必稠密，其包含许多有趣的图结构如星型、树和环，这些结构在金融、电信、物理、遗传学、神经科学和社会科学的许多稀疏网络模型中频繁使用。本文的一个关键贡献是将 Neunzert 的胞内粒子方法从欧氏空间中具有全局 Lipschitz 连续性的全连接不可区分 IPS，通过测度论观点非平凡地推广到具有局部 Lipschitz 连续性的异质有向图上的可区分 IPS。该方法与度量不同于使用 graphon 及其通过局部紧阿贝尔群调和分析推广的 $L^p$-函数中的已知技术。最后，为展示广泛适用性，我们将结果应用于流行病学、生态学和社会科学中高维欧氏空间的各类模型。