网络与分形上的相互作用动力系统：离散与连续模型、平均场极限及收敛速率

我们为自相似网络上的相互作用粒子系统 (IPS) 发展了一种连续极限和平均场理论，这是一类新的离散模型，其大尺度行为导致分形域上的非局部演化方程。这项工作将基于图论的 IPS 框架（用于在非可交换设定下推导连续极限和平均场极限）扩展到空间域是分形而非欧几里得的情形。其动机既来自自然在分形上表述的物理模型，也来自展现分层或准自相似结构的现实世界网络。我们的分析依赖于分形几何的工具，包括迭代函数系统和自相似测度。一个核心结果是自相似 IPS 与图论 IPS 之间的显式同构，这使我们能够在自相似设定下证明连续极限和平均场极限。这一联系揭示了分形域上的宏观动力学自然地作为分形集适当离散化上动力学的极限而出现。本文的另一个贡献是推导了离散自相似模型的最优收敛速率。我们引入了分形上的一类广义 Lipschitz 空间，扩展了欧几里得设定中使用的 Nikolskii-Besov 空间，并获得了分形域上非局部方程的不连续 Galerkin 近似的收敛估计。这些结果适用于具有最小正则性的核，解决了应用中相关的模型。