$\tilde{A}_1$-Soergel演算与零blob代数的分次和公式

我们研究$\tilde{A}_1$型下Soergel演算代数 $A_w := \mbox{End}_{{\mathcal D}_{(W,S)}} (\underline{w})$ 在$\mathbb C$上的表示理论。我们将近期零blob代数${\mathbb{NB}}_n$与$A_w$之间的同构推广到处理双参数blob代数。在此推广下，两个参数对应于$\tilde{A}_1$的两个单根。利用这一点，结合涉及$\mathbb{NB}_n$的Temperley-Lieb子代数的Jones-Wenzl幂等元的运算，我们得到了$A_w$的胞腔模$\Delta_w(v)$上双线性形式矩阵的显式对角化。对角化矩阵的 entries 结果是$\tilde{A}_1$的根的乘积。我们借此研究$\Delta_w(v)$对于$A_w$的Jantzen型滤子。我们表明，在 enriched Grothendieck 群层次上，相应的和公式含有项 $\Delta_w(s_{\alpha }v)[ l(s_{\alpha }v)- l(v)]$，其中 $[ \cdot ]$ 表示分次平移。