Kostant-Rallis设定中的分次重数

本文包含两个主要结果。首先，我们给出了$\text{GL}_n \downarrow \text{O}_n$和$\text{GL}_{2n} \downarrow \text{Sp}_{2n}$的组合分支规则，推广了Littlewood限制规则。其次，我们利用这些分支规则和$\text{GL}_n$-晶体的组合学，推导出了$\text{GL}(n, \mathbb{R})$、$\text{GL}(n, \mathbb{C})$和$\text{GL}(n, \mathbb{H})$的$K$-幂零锥上正则函数中$K$-型的分次重数公式。根据Schmid和Vilonen的工作，这些分次重数决定了具有无穷小特征0的球主序列的Hodge $K$-特征。