带饱和分布控制的 Korteweg-de Vries 方程的全局镇定
摘要
本文研究偏微分方程背景下的饱和控制设计。聚焦于 Korteweg-de Vries 方程，这是一个浅水表面波的非线性数学模型。考虑了两种不同类型的饱和控制。利用该方程的一些估计和饱和函数的某些性质，应用 Banach 不动点定理证明了适定性。闭环系统渐近稳定性的证明分两种情况进行：i) 当控制作用于整个区域时，利用 Lyapunov 函数和描述饱和输入的扇形条件来得出稳定性结论；ii) 当控制为局部作用时，采用反证法进行论证。一些数值模拟展示了闭环非线性偏微分方程的稳定性。1. 引言。近几十年来，人们在控制设计中考虑输入饱和方面做出了巨大努力（例如参见 [39]、[15] 或更近期的 [17]）。在大多数应用中，执行器受限于某些物理约束，控制输入必须有界。忽略执行器幅值限制可能成为闭环系统出现不良和灾难性行为的根源。分析此类非线性控制稳定性的标准方法遵循两步设计。首先，在不考虑饱和的情况下进行设计。第二步，在加入饱和时对闭环系统进行非线性分析。通过这种方式，我们通常得到局部镇定结果。在有限维系统情况下处理这种特定的非线性已经是一个难题。然而，如今已有许多可用的技术（例如参见 [39, 41, 37]），并且此类系统可以用适当的 Lyapunov 函数和如 [39] 中引入的饱和映射的扇形条件来分析。文献中研究无限维情形下该主题的文章很少。其中，我们可以引用 [18]、[29]，其中研究了配备饱和分布执行器的波动方程；以及 [12]，其中考虑了带有传输线的开关功率变换器建模的耦合 PDE/ODE 系统。由于系统的一些限制，后一篇文章中必须设计饱和反馈。也有一些文章使用非线性半群理论并聚焦于抽象系统（[20]、[34]、[36]）。注意在 [36]、[34] 和 [20] 中，使用抽象非线性理论处理了先验有界控制器的问题。更具体地说，对于有界（[36]、[34]）和无界（[34]）控制算子，推导出了一些条件，以便从抽象形式的无限维线性系统的渐近稳定性，推断出用饱和控制器闭合回路时的渐近稳定性。这些文章使用了非线性半群理论（例如参见 [24] 或 [1]）。Korteweg-de Vries 方程（简称 KdV）
引用
@article{arxiv.1609.05728,
title = {Global stabilization of a Korteweg-de Vries equation with saturating distributed control},
author = {Swann Marx and Eduardo Cerpa and Christophe Prieur and Vincent Andrieu},
journal= {arXiv preprint arXiv:1609.05728},
year = {2016}
}
备注
arXiv admin note: text overlap with arXiv:1609.01447