膜方程的全局近平面对称解

我们证明在维数 $d \geq 3$ 的膜方程中，任何具有有界空间范围的简单平面行波解在充分小的紧支撑扰动下是全局非线性稳定的，其中小性依赖于扰动支撑的大小以及初始行波剖面。该论证的主要新颖之处在于我们基于向量场的方法缺乏高阶剥离。特别地，高阶能量（事实上，所有 2 阶及更高阶的能量）被允许随时间多项式增长（但以受控的方式）。这与经典全局稳定性论证形成对比，在后者中仅自举论证中使用的“顶”阶能量表现出增长，并且反映了背景行波解具有“无穷能量”以及扰动方程的系数不是渐近 Lorentz 不变的事实。尽管如此，我们通过仔细分析非线性相互作用并揭示方程中某种“残留”零结构，可以证明扰动在 $C^2$ 中收敛到零。