容量密度条件下双相泛函的全局高阶可积性与 Hardy 不等式

在所考虑区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 的余集满足一致局部容量密度条件的假设下，我们证明了双相型泛函的全局高阶可积性。在此背景下，我们研究了与双相被积函数相关的一种新的自然变分容量概念。在 $\Omega$ 的余集满足相应的丰满性条件下，我们建立了一个积分 Hardy 不等式。进一步，我们证明了 $\mathbb{R}^n \setminus \Omega$ 的丰满性与边界 Poincaré 不等式、逐点 Hardy 不等式以及 $\mathbb{R}^n \setminus \Omega$ 的局部一致 $p$-丰满性等价。我们提供了一个反例，表明预期的 Maz'ya 型不等式——这是实现全局高阶可积性的关键中间步骤——在采用涉及双相泛函本身的容量概念时并不成立。