Neumann 级数核与 Green 函数的全局估计

我们在假设 $||T||_{L^2(\omega) \rightarrow L^2 (\omega)} <1$ 且 $d(x,y)=1/K(x,y)$ 为准度量的条件下，获得了 $L^2(\Omega, \omega)$ 上积分算子 $$Tf(x) = \int_{\Omega} K(x, y) f(y) d \omega(y)$$ 的预解式 $(I-T)^{-1}$ 核的全局逐点估计。令 $K_1=K$ 且对于 $j \geq 1$ 有 $K_j(x,y) = \int_{\Omega} K_{j-1} (x,z) K(z,y) \, d \omega (z)$。则对于某些常数 $c,C>0$，有 $$K(x,y) e^{c K_2 (x,y)/K(x,y)} \leq \sum_{j=1}^{\infty} K_j(x,y) \leq K(x,y) e^{C K_2 (x,y)/K(x,y)},$$ 我们的估计为 $\mathbb{R}^n$ 上具有任意非负势 $q$ 的分数阶 Schrödinger 算子 $(-\triangle)^{\alpha/2}-q$（其中 $0<\alpha<n$），或在有界非切向可达域 $\Omega$ 上（其中 $0<\alpha \le 2$）的 Green 函数提供了匹配的双边界限。用概率论的语言表述，这些结果可以重述为与 Brown 运动或 $\alpha$-稳定 L\'evy 过程相关的条件规范函数的显式双边界限。