具有临界 Hardy 势的薛定谔算子的热核与 Martin 核估计

设 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^N$ 中具有 $C^2$ 边界的有界域，且 $K\subset\partial\Omega$ 为余维数 $k<N$ 的 $C^2$ 边界子流形或一个点。本文研究与薛定谔算子 $L_{\mu} =-\Delta - \mu d_K^{-2}$ 相关的若干问题，其中 $d_K$ 表示到 $K$ 的距离且 $\mu\leq k^2/4$。我们建立了抛物边界 Harnack 不等式以及相关的双侧热核与 Green 函数估计。我们构造了相应的 Martin 核，并证明了以测度为数据的对应边值问题的存在唯一性。接下来我们将结果应用于 $L_\mu u+g(u) = 0$ 的研究，并在对函数 $g$ 的适当假设下建立存在唯一性。为证明我们的结果，我们特别地引入了合适的边界迹概念。该迹不同于 Marcus 与 Nguyen \cite{MT} 所用的迹，从而使我们能覆盖整个范围 $\mu\leq k^2/4$。