子流形的全局共形不变量

本文旨在研究子流形全局共形不变量的代数结构。这些不变量定义为切丛与法丛几何标量的共形不变积分。全局共形不变量的一个著名例子是曲面的 Willmore 能量。在余维数为 1 的情形下，我们对这类不变量进行了分类，表明在结构性假设下（更确切地说，假设被积函数分别依赖于内蕴曲率和外蕴曲率，而不依赖于它们的导数），被积函数只能由内蕴标量共形不变量、外蕴标量共形不变量以及 Chern-Gauss-Bonnet 被积函数组成。特别地，对于余维数为 1 的曲面，我们证明了 Willmore 能量是唯一的全局共形不变量，至多相差一个拓扑项（即 Gauss 曲率，通过 Gauss-Bonnet 定理给出 Euler 示性数）。类似的结论也适用于余维数为 2 的曲面，只需额外考虑由法丛的 Chern-Gauss-Bonnet 被积函数给出的拓扑项。我们还讨论了 Willmore 能量在更高维（及更高余维）情形下自然推广的存在性与性质。