二维Navier-Stokes方程Prandtl展开的Gevrey稳定性

我们研究二维不可压缩Navier-Stokes方程的边界层解的稳定性。我们考虑Prandtl类型的剪切流解： $$u^\nu(t,x,y) \, = \, \big (U^E(t,y) + U^{BL}(t,\frac{y}{\sqrt{\nu}})\,, \, 0 \big )\, , \quad 0<\nu \ll 1\, .$$ 我们证明，如果$U^{BL}$在$Y = y /\sqrt{\nu}$中单调且凹，则在$x$方向具有Gevrey正则性、$y$方向具有Sobolev正则性的扰动下，$u^\nu$在某个时间间隔$(0,T)$（$T$与$\nu$无关）内稳定。以此我们改进了Sammartino和Caflisch在解析类（在$x$和$y$中）中的经典稳定性结果。此外，在$U^{BL}$为稳态且严格凹的情形下，我们的稳定性Gevrey指数是最优的。证明依赖于对线性化Orr-Sommerfeld算子的新的精确预解估计。