伯努利障碍下条件存活的随机游走范围的几何

我们考虑 $\mathbb{Z}^d$ ($d\geq 2$) 上伯努利障碍间的离散时间简单对称随机游走,当游走碰到障碍时即被杀死。已知在条件存活至时间 $N$ 下,随机游走范围渐近包含于半径为 $\varrho_N=C N^{1/(d+2)}$ 的球内,对任意 $d\geq 2$ 成立。对于 $d=2$,亦已知该范围渐近包含一个半径为 $(1-\epsilon)\varrho_N$ 的球(任意 $\epsilon>0$),而 $d\geq 3$ 的情形仍属开放问题。我们补全了这一图景:证明对任意 $d\geq 2$,该随机游走范围渐近包含一个半径为 $\varrho_N-\varrho_N^\epsilon$ 的球,其中某个 $\epsilon \in (0,1)$。此外,我们证明其边界大小至多为 $\varrho_N^{d-1}(\log \varrho_N)^a$,其中某个 $a>0$。