可约球面锥度量的几何结构及其存在性

在紧黎曼曲面上，具有有限个锥奇点且高斯曲率恒为 $K=1$ 的共形度量 ${\rm d}s^{2}$ 被称为球面锥度量。当 ${\rm d}s^{2}$ 的伴随单值群可对角化时，我们称 ${\rm d}s^{2}$ 为可约球面锥度量。可约球面锥度量的最简单情形是“足球”，即一个恰好有两个相距 $\pi$ 的奇点的球面锥度量 2-球面。本研究深入探讨紧黎曼曲面上可约球面锥度量的内在几何结构及其存在性。我们证明，任何此类球面均可通过沿一组连接锥奇点与度量某些光滑点的合适测地线进行切割，被划分为有限块。特别地，每一块都等距于沿连接两个锥奇点的测地线切割足球所得的部分。作为一个应用，我们给出了此类度量存在的一个角度条件。最值得注意的是，我们的研究证明了存在一种可约球面锥度量，其莫尔斯函数的所有鞍点均位于同一条测地线上。