基于Cartan活动标架的非线性弹性N转子几何相位

我们研究具有连续旋转对称性的非线性弹性$N$-转子的几何相位。在哈密顿框架下，相空间的几何结构是一个主纤维丛，即一个底流形或形状流形$\mathcal{B}$，以及沿对称方向附着于其上的纤维$\mathcal{F}$。哈密顿动力学的辛结构决定了形状流形的联络与曲率形式。利用零挠率的Cartan结构方程，我们为形状流形找到了一个内蕴的（伪）黎曼度量。我们可以自由地将弹性转子总角动量的旋转符号定义为正或负，例如分别为逆时针或顺时针，或反之。这赋予底流形$\mathcal{B}$两个互不相同的度量，二者均与几何相位相容。特别地，当$\mathsf{A}<0$时度量为伪黎曼的，形状流形是具有正曲率的$2$维Robertson-Walker时空。当$\mathsf{A}>0$时，形状流形是具负曲率的双曲平面$\mathbb{H}^2$。随后我们将结果推广至自由弹性$N$-转子。我们证明相关的形状流形$\mathcal{B}$可约化为$(N-1)$个双曲平面$\mathbb{H}^2$（$\mathsf{A}>0$）或$2$维Robertson-Walker时空（$\mathsf{A}<0$）的乘积流形，取决于定义总角动量旋转符号时所采用的约定。接着我们考虑受含时自平衡力矩作用的弹性$N$-转子。扩展自治系统的$N$维形状流形具有与自由弹性转子$(N-1)$维形状流形相似的结构。形状流形的黎曼结构提供了以曲率或诱导几何相位来度量一个形状与另一形状接近程度的内蕴测度。