纽结类型的几何密度与压缩半径

我们研究与三维欧几里得空间中嵌入闭合曲线相关的尺度不变几何量，重点关注它们在固定纽结类型内优化时的行为。给定一个欧几里得不变且尺度协变的大小泛函 $D$，我们定义曲线 $\gamma$ 的 $D$-密度为 $\len(\gamma)/D(\gamma)$，$D$-压缩半径为 $D(\gamma)/\Thi(\gamma)$，并将相应的填充比定义为其倒数。对于单个代表曲线，绳长可分解为 $D$-密度与 $D$-压缩半径的乘积。重点不在于这种形式上的抵消，而在于它提示了优化后的分离：密度、压缩、填充和绳长问题通常具有不同的极小化序列。我们为一般的尺度协变大小泛函发展了这一分解框架。我们证明了基本的优化不等式，给出了优化后等式成立的判据，并计算了直径和最小包围半径下的平凡纽结情况。我们还利用多边形厚度的标准收敛性质，证明了当 $D=\diam$ 和 $D=R_{\min}$ 时压缩半径的多边形逼近结果，并为其他 $L^p$ 型大小泛函提出了相应的假设。最后，我们讨论了与畸变、躯干和超躯干的关系。该框架旨在作为密度型不变量的结构性补充，而非直接提供更强的绳长下界。特别地，优化分解本身并不产生新的绳长下界；此类下界需要对密度和压缩因子进行独立估计。