关于结类型 $p$ 密度的无约束与绳长窗口化问题

我们研究了 $R^3$ 中结类型的一族尺度不变的 $p$ 密度，这些密度定义为曲线长度与沿曲线的成对距离 $L^p$ 类型扩散之比。本文的第一要点是无约束理论存在强烈的退化现象。局部结缠显示，对于每一个 $p\in(-1,\infty]$ 和每一个结类型 $K$，无约束的 $p$ 密度 $K$ 的值不大于unknot 的密度。利用 Exner--Harrell--Loss 的锐利均值弦不等式，我们表明这种退化在整个范围 $-1<p\le2$ 中都是完全的：对于 $p\ne0$，有 \n$$\rho_p(K)= \pi\left( \frac{\pi}{\int_0^\pi \sin^p\theta\,d\theta} \right)^{1/p},$$\n而 $\rho_0(K)=2\pi$。在端点 $p=\infty$，也有 $\rho_\infty(K)=2$ 对每个结类型 $K$ 成立。剩余的有限范围 $p>2$ 在分析上不同：圆形圆环并非普遍的极端曲线，结类型在此范围内的独立性留作独立的极值问题。这些退化激发了一种受约束的细化。我们引入绳长窗口化 $p$ 密度，通过施加厚度规范化 $Thi(\gamma)\ge 1$ 和长度界约束 $len(\gamma)\le \lambda Rop(K)$ 来防止因局部结缠导致的坍缩。我们证明了基本的单调性属性和绳长窗口化问题最小化器的存在性定理。我们还保留了无约束密度的多边形近似定理，表明当边数趋于无穷大时，连续理论与多边形理论在渐近上一致。本文以一系列关于有限高指数范围、受约束密度谱、厚度控制的多边形近似以及正规化的反平方根扩展的开放问题列表收尾。