带Legendrian边界条件的微扰接触瞬子的几何分析

在本文中，我们为如下称为\emph{Hamiltonian微扰接触瞬子方程}的非线性椭圆系统提供分析基础： $$(du - X_H \otimes \gamma)^{\pi(0,1)} = 0, \quad d(e^{g_{H, u}}u^*(\lambda + H \otimes \gamma)\circ j) = 0$$ 该方程联系于接触三元组 $(M,\lambda,J)$ 与接触Hamiltonian $H$，及其在Legendrian边界条件下的边值问题。（1）我们确定了微扰接触Hamiltonian轨迹的正确作用泛函选择，其为该体系提供了梯度结构，并推导了其第一变分公式。（2）我们确定了用于该方程有限能量解冒泡分析的正确能量选择。（3）我们发展了称为\emph{微扰接触瞬子}的解的椭圆正则性理论：我们首先通过Hamiltonian微积分与向量值一次形式 $d_Hu := du - X_H(u)\otimes \gamma$ 的调和理论及其利用接触三元组 $(M,\lambda, J)$ 的接触三元组联络的相关Weitzenböck公式，建立全局 $W^{2,2}$ 估计。然后我们通过 $d_Hu$ 的 $\pi$ 分量与Reeb分量之间的交替bootstrap论证建立 $C^{k,\alpha}$ 估计。在此过程中，我们还建立了弱Legendrian边界条件下微扰接触瞬子方程 $W^{1,4}$ 弱解的边正则性定理。（4）基于该正则性理论，我们在有限能量假设下证明了在穿孔处的渐近 $C^\infty$ 收敛结果。